Universität Bielefeld
Fakultät für Mathematik

Dichteste Kugelpackungen in der Natur

Stellen wir uns einmal vor, wir sollen eine weitere Schicht auf eine solche bestehende Schichtfolge legen und müssen dabei nach determinstischen, möglichst einfachen Regeln vorgehen.
Mit den Variablen x,y,z bezeichne ich nun die vorliegenden Schichten, wobei stets verschiedene Variablennamen auch verschiedene Schichten aus A,B oder C bezeichnen.
Seien xy die beiden letzten Schichten, so haben wir entweder die Möglichkeit wieder x oder die verbleibende Alternative z zu legen, sofern wir nur 2 Schichten tief in den Stapel schauen. Damit können wir auch genau die beiden häufigsten Strukturen AB und ABC realisieren. Anders formuliert: Entweder ist die neu zu legende Schicht gleich oder ungleich der vorletzten Schicht.
Schauen wir in dem Gitter gar 3 Ebenen tief, kommt noch eine weiter Möglichkeit hinzu. Nämlich durch die beiden Regel xyx -> z , xyz -> y , und dies resultiert genau in der Packungsfolge ABAC. Dies kann man auch interpretieren als: Lege die neue Schicht genauso wie die vorletzte Schicht, falls unter den letzten 3 Schichten jede Variante vertreten ist, ansonsten lege die fehlende Schicht als neue drauf. Dies entspricht einer alternierenden Anwendung der beiden Regeln aus Tiefe 2.
Lassen wir sogar 4 Schichten als relevant zu, optisch ist uns schon die Sicht versperrt, so sieht man, daß stets xyxy -> z , xyzx -> z gelten muß, andernfalls erzeugt man das fcc oder hcp Gitter. Jetzt kommen 3 weitere Packungsvarianten hinzu. Einmal eine Folge der Länge 6 ABACBC aus dem Regelsatz xyxz -> y , xyzx -> z , xyzy -> x , die obengenannte Folge ABABCBCAC aufgrund dem Regelsatz xyxy -> z , xyxz -> x , xyzy -> z und die Folge ABABCACABCBC mit Länge 12 aus folgendem Regelsatz xyzx -> z , xyxy -> z , xyzy -> z , xyxz -> y .
Das Gitter der Periode 9 ist im Gegensatz zu dem mit Periodenlänge 12 mit weniger Regeln zu beschreiben und im Vergleich zur Folge der Länge 6 symmetrisch in A, B und C.
Somit erzwingen die interatomaren Kräfte im Samarium über 4 Atomschichten hinweg mit 3 Regeln die Gitterstruktur!

Vom Klassifikationsstandpunkt aus gesehen ist interesssanterweise festzustellen, daß die Ordnung nach Periodenlänge nicht die natürliche Komplexität wieder gibt, sondern entscheidend ist die Darstellbarkeit mittels eines Automaten mit möglichst kurzem Regelsatz und kleinem Gedächtnis.

Tiefe  Regeln  Folgenzahl   Folge            Regelumfang
  1        -        0     (random)                0
  2        2       +2     AB  ABC                 1
  3        4       +1     ABAC                    2
  4       16       +3     ABACBC  ABABCBCAC       3
                          ABABCACABCBC            4
  5      256      +13     ABACBABC  ABABACAC      4
                          ABABC  ABABACBCBC       5
                          ABABCBACACBC  ABABCACBCBAC  ABABACBABABC   6
                          ABABCBACBCBABC  ABABCABACACBAC   7
                          ABABACABCBCBABCACACBC  ABABACBCACACBABCBCBAC   7
                          ABABACABCACACBCABCBCBABC  ABABACBABCBCBACBCACACBAC  8
  6    65536     +160     6,2*7,8,4*9,3*10,2*11,2*12,2*13,2*14,8*15,14*16,10*18,7*20,
                          7*22,5*24,6*26,3*27,20*28,25*30,5*33,7*36,4*39,10*45,10*48
                          ABABCBABAC  ABACBACABC   5
                          ABABABCBCBCACAC  ABACABCBABCACBC   5
                          ABABAC  ABABABCACACABCBCBC  ABABCABCBCABCACABC  ABACABCACBCABCBABC   6
                          ABABABC  ABACABC  ABABACBACACABC  ABABABCBABABAC   7 
                          ABABCBAC  ABABABCACBCBCBAC  ABABABCBACACACBC   8
                          ABABACACBABABCBC  ABABACBCBABABCAC  ABABCABACBCBACBC   8
                          ABABCABCBABACBAC  ABABCACBACACBABC  ABABCBACBABACABC   8
                          ABABABCAC  ABABABCBC  ABABACABC  ABABACBAC   9
                          ABABABCBAC   10
                          ABABACABABC  ABABACBABAC   11
                          ABABACACBABC  ABABACBABCAC   12
                          ABABACBCABCAC  ABABACACBACBC   13

Somit ist die exakte Bestimmung dieser Anzahlen und Gitter alles andere als trivial, nämlich NP-schwer.
Hier noch einige weitere Informationen zur Realisierung solcher Kugelpackungen bei den Elementen.

Physik + Mathematik -> Informatik
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Achim Flammenkamp
95-10-03 21:05