1 chain with 4 bits set 34 chains with 5 bits set 86 chains with 6 bits set 43 chains with 7 bits set 32 chains with 8 bits set Notation: @(.) means 2^(.) p,q,r,s are free nonnegative integer variables A,B,C,D,E,F,G are also free nonnegative integer variables In all two-power-sum representations the two-power-exponents are always strictly monotonic decreasing and >= 0 Shortest Addition Chains with 3 Small Steps 5 4* @(p)+@(q)+@(r)+@(s) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(B) 3( 2, 1) @(A)+@(B)+@(C) 4( 3, 1) @(A)+@(B)+@(C)+@(D) 6 5* @(p)+@(p-8)+@(p-12)+@(p-13)+@(p-14) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-3) 3( 2, 1) @(A+1)+@(A-3) 4( 3, D) @(A+7)+@(A+3) 5( 4, 2) @(A+7)+@(A+3)+@(A)+@(A-3) 6( 5, D) @(A+8)+@(A+4)+@(A+1)+@(A-2) 7( 6, 5) @(A+8)+@(A+7)+@(A+4)+@(A+3)+@(A+1)+@(A)+@(A-2)+@(A-3) 8( 7, D) @(A+10)+@(A+9)+@(A+6)+@(A+5)+@(A+3)+@(A+2)+@(A)+@(A-1) 9( 8, 7) @(A+11)+@(A+3)+@(A-1)+@(A-2)+@(A-3) 7 5* @(p)+@(p-8)+@(p-10)+@(p-11)+@(p-14) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-6) 3( 2, 1) @(A+1)+@(A-6) 4( 3, 2) @(A+1)+@(A)+@(A-5) 5( 4, 3) @(A+2)+@(A)+@(A-5)+@(A-6) 6( 5, D) @(A+6)+@(A+4)+@(A-1)+@(A-2) 7( 6, 5) @(A+6)+@(A+4)+@(A+2)+@(A)+@(A-1)+@(A-2)+@(A-5)+@(A-6) 8( 7, D) @(A+7)+@(A+5)+@(A+3)+@(A+1)+@(A)+@(A-1)+@(A-4)+@(A-5) 9( 8, 7) @(A+8)+@(A)+@(A-2)+@(A-3)+@(A-6) 8 5* @(p)+@(p-7)+@(q)+@(q-1)+@(q-3) ,q>=4 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-1) 3( 2, 1) @(A)+@(A-1)+@(C) 4( 3, 2) @(A+1)+@(A)+@(C) 5( 4, 3) @(A+2)+@(A-1)+@(C+1) 6( 5, 4) @(A+2)+@(A+1)+@(A)+@(A-1)+@(C+1)+@(C) 7( 6, D) @(A+5)+@(A+4)+@(A+3)+@(A+2)+@(C+4)+@(C+3) 8( 7, 5) @(A+6)+@(A-1)+@(C+4)+@(C+3)+@(C+1) 9 5* @(p)+@(p-6)+@(p-9)+@(p-11)+@(p-12) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-1) 3( 2, 1) @(A)+@(A-1)+@(A-6) 4( 3, D) @(A+3)+@(A+2)+@(A-3) 5( 4, 3) @(A+3)+@(A+2)+@(A)+@(A-1)+@(A-3)+@(A-6) 6( 5, 4) @(A+4)+@(A+3)+@(A)+@(A-1)+@(A-2)+@(A-6) 7( 6, 5) @(A+5)+@(A+2)+@(A+1)+@(A)+@(A-2)+@(A-3)+@(A-5) 8( 7, 6) @(A+6)+@(A)+@(A-3)+@(A-5)+@(A-6) 10 5* @(p)+@(p-6)+@(q)+@(q-2)+@(q-4) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-1) 3( 2, 1) @(A)+@(A-1)+@(A-2) 4( 3, 2) @(A+1)+@(A)+@(A-2) 5( 4, D) @(A+D+2)+@(A+D+1)+@(A+D-1) 6( 5, 3) @(A+D+2)+@(A+D+1)+@(A+D-1)+@(A)+@(A-1)+@(A-2) 7( 6, 5) @(A+D+3)+@(A+D+2)+@(A+D)+@(A)+@(A-1)+@(A-2) 8( 7, 6) @(A+D+4)+@(A+D+1)+@(A+D)+@(A+D-1)+@(A+1)+@(A)+@(A-1) 9( 8, 7) @(A+D+5)+@(A+D-1)+@(A+2)+@(A)+@(A-2) 11 5* @(p)+@(p-6)+@(q)+@(q-1)+@(q-3) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-1) 3( 2, 1) @(A)+@(A-1)+@(A-3) 4( 3, D) @(A+D+1)+@(A+D)+@(A+D-2) 5( 4, 3) @(A+D+1)+@(A+D)+@(A+D-2)+@(A)+@(A-1)+@(A-3) 6( 5, 4) @(A+D+2)+@(A+D-4)+@(A)+@(A-1)+@(A-3) 12 5* @(p)+@(p-6)+@(q)+@(q-1)+@(q-2) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-1) 3( 2, 1) @(A)+@(A-1)+@(A-2) 4( 3, 2) @(A+1)+@(A)+@(A-2) 5( 4, D) @(A+D+2)+@(A+D+1)+@(A+D-1) 6( 5, 3) @(A+D+2)+@(A+D+1)+@(A+D-1)+@(A)+@(A-1)+@(A-2) 7( 6, 5) @(A+D+3)+@(A+D-3)+@(A)+@(A-1)+@(A-2) 13 5* @(p)+@(p-5)+@(p-6)+@(p-7)+@(q) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-2) 3( 2, D) @(A+3)+@(A+1) 4( 3, 2) @(A+3)+@(A+1)+@(A)+@(A-2) 5( 4, 1) @(A+3)+@(A+1)+@(A)+@(A-2)+@(D) 6( 5, 4) @(A+4)+@(A+2)+@(A+1)+@(A-1)+@(D) 7( 6, 4) @(A+5)+@(A)+@(A-1)+@(A-2)+@(D) 14 5* @(p)+@(p-5)+@(q)+@(q-2)+@(q-3) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-2) 3( 2, 1) @(A)+@(A-2)+@(A-3) 4( 3, D) @(A+D+1)+@(A+D-1)+@(A+D-2) 5( 4, 3) @(A+D+1)+@(A+D-1)+@(A+D-2)+@(A)+@(A-2)+@(A-3) 6( 5, 4) @(A+D+2)+@(A+D-3)+@(A)+@(A-2)+@(A-3) 15 5* @(p)+@(p-5)+@(q)+@(q-1)+@(q-2) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-1) 3( 2, 1) @(A)+@(A-1)+@(A-2) 4( 3, 1) @(A+1)+@(A-1)+@(A-2) 5( 4, D) @(A+E+2)+@(A+E)+@(A+E-1) 6( 5, 3) @(A+E+2)+@(A+E)+@(A+E-1)+@(A)+@(A-1)+@(A-2) 7( 6, 5) @(A+E+3)+@(A+E-2)+@(A)+@(A-1)+@(A-2) 16 5* @(p)+@(p-3)+@(q)+@(q-1)+@(r) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-1) 3( 2, 1) @(A)+@(A-1)+@(C) 4( 3, 1) @(A)+@(A-1)+@(C)+@(D) 5( 4, 3) @(A+1)+@(A)+@(C+1)+@(D) 6( 5, 3) @(A+2)+@(A-1)+@(C+1)+@(C)+@(D) 17 5* @(p)+@(p-3)+@(q)+@(r)+@(r-1) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-1) 3( 2, 1) @(A)+@(A-1)+@(C) 4( 3, 1) @(A)+@(A-1)+@(D)+@(C) 5( 4, 3) @(A+1)+@(A)+@(D)+@(C+1) 6( 5, 3) @(A+2)+@(A-1)+@(D)+@(C+1)+@(C) 18 5* @(p)+@(p-1)+@(q)+@(r)+@(-p+q+r-1) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(B) 3( 2, 1) @(A+1)+@(B) 4( 3, 2) @(A+1)+@(A)+@(B+1) 5( 4, D) @(A+D+2)+@(A+D+1)+@(B+D+2) 6( 5, 3) @(A+D+2)+@(A+D+1)+@(B+D+2)+@(A+1)+@(B) 19 5* @(p)+@(q)+@(q-2)+@(q-3)+@(q-4) ,p>=6 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-2) 3( 2, 1) @(A+1)+@(A-2) 4( 3, D) @(A+2)+@(A-1) 5( 4, 2) @(A+2)+@(A)+@(A-1)+@(A-2) 6( 5, D) @(A+3)+@(A+1)+@(A)+@(A-1) 7( 6, 4) @(A+4) 8( 7, 6) @(A+4)+@(A+G+3)+@(A+G+1)+@(A+G)+@(A+G-1) 20 5* @(p)+@(q)+@(q-2)+@(r)+@(r-1) ,p-q>=2 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-1) 3( 2, 1) @(A+1)+@(A-1) 4( 3, 2) @(A+2) 5( 4, D) @(A+D+3) 6( 5, 3) @(A+D+3)+@(A+1)+@(A-1) 7( 6, D) @(A+D+E+4)+@(A+E+2)+@(A+E) 8( 7, 2) @(A+D+E+4)+@(A+E+2)+@(A+E)+@(A)+@(A-1) 21 5* @(p)+@(q)+@(q-1)+@(q-2)+@(p-6) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-2) 3( 2, 1) @(A+1)+@(A-2) 4( 3, 2) @(A+1)+@(A)+@(A-1) 5( 4, D) @(A+3)+@(A+2)+@(A+1) 6( 5, 3) @(A+4)+@(A-2) 7( 6, 5) @(A+4)+@(A+E+2)+@(A+E+1)+@(A+E)+@(A-2) 22 5* @(p)+@(q)+@(q-1)+@(q-2)+@(p-5) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-2) 3( 2, 1) @(A)+@(A-1)+@(A-2) 4( 3, D) @(A+2)+@(A+1)+@(A) 5( 4, 2) @(A+3)+@(A-2) 6( 5, 4) @(A+3)+@(A+E+1)+@(A+E)+@(A+E-1)+@(A-2) 23 5* @(p)+@(q)+@(q-1)+@(r)+@(r-2) ,p-q>=3 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(B) 3( 2, 1) @(A)+@(C)+@(B) 4( 3, 1) @(A+1)+@(C)+@(B) 5( 4, 2) @(A+1)+@(A)+@(C)+@(B+1) 6( 5, D) @(A+2)+@(A+1)+@(C+1)+@(B+2) 7( 6, 4) @(A+3)+@(C+1)+@(C)+@(B+2)+@(B) 24 5* @(p)+@(q)+@(q-1)+@(r)+@(-p+q+r+2) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-1) 3( 2, 1) @(A)+@(A-1)+@(C) 4( 3, 1) @(A+1)+@(A-1)+@(C) 5( 4, 2) @(A+2)+@(C) 6( 5, D) @(A+E+3)+@(C+E+1) 7( 6, 3) @(A+E+3)+@(A)+@(A-1)+@(C+E+1)+@(C) 25 5* @(p)+@(q)+@(-p+2q-2)+@(r)+@(-p+q+r-1) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(B) 3( 2, 1) @(A)+@(B)+@(C) 4( 3, D) @(2A-B)+@(A)+@(A-B+C) 5( 4, 3) @(2A-B)+@(A+1)+@(B)+@(A-B+C)+@(C) 26 5* @(p)+@(q)+@(r)+@(-p+2q-2)+@(-p+q+r-1) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(B) 3( 2, 1) @(A)+@(B)+@(C) 4( 3, D) @(2A-B)+@(A)+@(A-B+C) 5( 4, 3) @(2A-B)+@(A+1)+@(A-B+C)+@(B)+@(C) 27 5* @(p)+@(q)+@(r)+@(r-1)+@(-p+q+r+2) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(A-1) 3( 2, 1) @(A)+@(A-1)+@(C) 4( 3, 1) @(A+1)+@(A-1)+@(C) 5( 4, 2) @(A+2)+@(C) 6( 5, D) @(A+E+3)+@(C+E+1) 7( 6, 3) @(A+E+3)+@(C+E+1)+@(A)+@(A-1)+@(C) 28 5* @(p)+@(q)+@(r)+@(-p+q+r)+@(s) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(B) 3( 2, D) @(A+C+1)+@(B+C+1) 4( 3, 1) @(A+C+1)+@(B+C+1)+@(D) 5( 4, 2) @(A+C+1)+@(B+C+1)+@(A)+@(B)+@(D) 29 5* @(p)+@(q)+@(r)+@(-p+q+r-1)+@(-p+2r-2) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(B) 3( 2, 1) @(A)+@(B)+@(C) 4( 3, D) @(2A-C)+@(A+B-C)+@(A) 5( 4, 3) @(2A-C)+@(A+B-C)+@(A+1)+@(B)+@(C) 30 5* @(p)+@(q)+@(r)+@(-p+q+r+1)+@(s) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(B) 3( 2, 1) @(A+1)+@(B) 4( 3, D) @(A+D+2)+@(B+D+1) 5( 4, 1) @(A+D+2)+@(B+D+1)+@(E) 6( 5, 2) @(A+D+2)+@(B+D+1)+@(A)+@(B)+@(E) 31 5* @(p)+@(q)+@(r)+@(-p+q+r+2)+@(-2p+2q+r+1) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(B) 3( 2, 1) @(A)+@(C)+@(B) 4( 3, 2) @(A+1)+@(C)+@(B+1) 5( 4, D) @(A-B+C)+@(-B+2C-1)+@(C) 6( 5, 3) @(A-B+C)+@(A)+@(-B+2C-1)+@(C+1)+@(B) 32 5* @(p)+@(q)+@(r)+@(-p+q+r+2)+@(-2p+q+2r+1) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(B) 3( 2, 1) @(A)+@(C)+@(B) 4( 3, 2) @(A+1)+@(C)+@(B+1) 5( 4, D) @(A-B+C)+@(-B+2C-1)+@(C) 6( 5, 3) @(A-B+C)+@(-B+2C-1)+@(A)+@(C+1)+@(B) 33 5* @(p)+@(q)+@(r)+@(s)+@(-p+q+r) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(B) 3( 2, D) @(A+C+1)+@(B+C+1) 4( 3, 1) @(A+C+1)+@(B+C+1)+@(D) 5( 4, 2) @(A+C+1)+@(B+C+1)+@(A)+@(D)+@(B) 34 5* @(p)+@(q)+@(r)+@(s)+@(-p+q+r+1) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(B) 3( 2, 1) @(A+1)+@(B) 4( 3, D) @(A+D+2)+@(B+D+1) 5( 4, 1) @(A+D+2)+@(B+D+1)+@(E) 6( 5, 2) @(A+D+2)+@(B+D+1)+@(A)+@(E)+@(B) 35 5* @(p)+@(q)+@(r)+@(s)+@(-p+q+s) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(B) 3( 2, 1) @(A)+@(C)+@(B) 4( 3, D) @(A+D+1)+@(C+D+1)+@(B+D+1) 5( 4, 2) @(A+D+1)+@(A)+@(C+D+1)+@(B+D+1)+@(B) 36 5* @(p)+@(q)+@(r)+@(s)+@(-p+q+s+1) 0( ) 1 1( 0, D) @(A) 2( 1, 1) @(A)+@(B) 3( 2, 1) @(A)+@(C)+@(B) 4( 3, 1) 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