Universität Bielefeld
Fakultät für Mathematik

Dichteste Kugelpackungen

Bekanntlich lassen sich Kugeln in der Ebene am dichtesten packen, wenn sie in Form eines regelmäßigen hexagonalen Gitters angeordnet sind. Diese Gitter kann man dann übereinander stapeln um dichteste Gitterpackungen im 3 dimensionalen Raum zu erzeugen. Dabei hat man allerdings bei jeder Ebene einen Freiheitsgrad je nachdem ob man sie genauso wie die vorvorherige oder zu dieser versetzt legt. Bezeichnet man nun willkürlich die verschiedenen Schichtanordnungen mit den Buchstaben A, B und C , so sind alle ABC Folgen zulässig, wenn nur verschiedene Buchstaben aufeinanderfolgen. Eine Übersicht der kurzperiodischen Gitter: 

Periodenl"ange   Gitterzahl   Folge
         1           0        -
         2           1        AB
         3           1        ABC
         4           1        ABAC
         5           1        ABABC
         6           2        ABABAC    ABACBC
         7           3        ABABABC   ABABCBC   ABACABC
         8           6        ABABABAC  ABABACAC  ABABACBC  ABABCABC  ABABCBAC  ABACBABC
         9          10
        10          18
        11          31
        12          59
        13         105
        14         198
        15         365
        16         688
        17        1285
        18        2438
        19        4599
        20        8755
Zwei Perioden sind natürlich zu identifizieren, wenn sie sich durch eine zylischen Verschiebung oder eine Permutation ihrer Buchstaben A,B,C ineinander überführen lassen. Die Anzahl der möglichen Folgen ist durch 2n-2 beschränkt und es ist eine nicht ganz triviale Aufgabe ihre Anzahl effektiv zu bestimmen.
Ich möchte diese Gitter aber aus einem etwas anderen Blickwinkel betrachten.

Interessanterweise sind in der Natur bei Elementen deren Atome in einer solchen dichtest möglichen Packung angeordnet sind vorzugsweise die Gitter ABABAB... und ABCABC... realisiert. Diese Packungsfolge mit Periode 2 wird auch mit hcp, hexagonal closed packed, und die mit Periode 3 als fcc, face centered cubic, bezeichnet. Bei einigen Elementen ist auch die Folge ABAC mit Periode 4 realisiert und wird als dhcp, double hexagonal closed packed, bezeichnet.
Eine Besonderheit stellt das Element Samarium mit der Folge ABABCBCAC und Periodenlänge 9 dar. Gibt es hierfür eine einfache Erklärung ?

Ja | ? | Nein

Anzahl a(n) der Gitter mit gegebener Periodenlänge n

Zu berücksichtigen sind folgende wesentliche Punkte:
  1. Das erste Folgenelement kann A,B oder C sein, aber für jedes weitere Glied gibt es nur genau zwei Möglichkeiten.
  2. Das letzte Folgenglied muß ungleich dem ersten Folgenelement sein.
  3. Die ganze Folge darf zylisch verschoben werden.
  4. Die 3 Schichttypen A,B und C können permutiert werden.
Damit haben wir asymptotisch sofort 3*2n-1*(2/3)/n/6. Ist n > 3 Primzahl, es also keine echte Teilfolge innerhalb der Periode geben kann, muß diese Anzahl exakt gleich (2n-2)/6n sein. Für n <= 3 ist das zyklische Verschieben nur eine Teilmenge der 6 Permutationsmöglichkeiten, so daß a(3) = (23-2)/6 = 1 ist und a(2) = 3*2/6 = 1 , da Punkt 2 trivialerweise gilt. Für n = 1 ist die 2. Bedingung unerfüllbar, so daß a(1) = 0.
Mittels der Möbiusfunktion µ() können wir nun für alle nicht durch 2 und 3 teilbaren n schließen: 6*n*a(n) = SUMd|n µ(d)*d*(2(n/d)-2)
Tja und wenn n durch 2 teilbar ist .... Übungsaufgabe 7b in Kombinatorik I :)
Bleibt noch der Fall 3 teilt n .... Schreibe gerade ein Programm mit künstlicher Intelligenz dafür, da meine nicht ganz ausreicht :->

Nun ja --- will 'mal nicht so sein. Hier gibt es eine moderne Darstellung der Lösung.
Und für die, die das ganze auch verstehen wollen, ein kleiner Tip: Fasse es als Abzählproblem von +- Folgen mit durch 3 teilbarer Quersumme auf.

Achim Flammenkamp
95-10-15 19:25