Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  v

Foreword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Preface  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

List of Figures  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

1  Introduction                                                               1
   1.1  Why Study Go . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2
   1.2  Easy (?) endgame problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  3
   1.3  Teaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  7
   1.4  Useful programs  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  7

2  An Overview                                                                9
   2.1  Fractions . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . .    9
   2.2  Chilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13
   2.3  The need for more than just numbers  . . . . . . . . . . . . . . .   14
   2.4  Ups, downs and stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   16
   2.5  Tinies and minies . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . .   22
   2.6  Multiple invasions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   26
  
3  Mathematics of Games                                                      31
   3.1  Common concerns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  31
   3.2  Sums of games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  34
   3.3  Difference games  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  38
   3.4  Simplifying games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  40
        3.4.1  Deleting dominated options . . . . . . . . . . . . . . . . .  40
        3.4.2  Reversing reversible options . . . . . . . . . . . . . . . .  41
   3.5  Combinatorial game Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  45
        3.5.1  Definitions  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  45
        3.5.2  Canonical forms  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  47
        3.5.3  Examples of games  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  48
        3.5.4  Cooling  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  50
        3.5.5  Incentives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  51
   3.6  Warming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  52

4  Go Positions                                                              57
   4.1  Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  57
   4.2  A problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  58
   4.3  Corridors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  65
   4.4  Sums of corridors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  68
   4.5  Rooms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  70
   4.6  Proofs  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  79
   4.7  Groups invading many corridors  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  80
   4.8  Another problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  85
   4.9  9-dan stumping problem  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  88
   4.10 Multiple sockets  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  93
        4.10.1  Consistency check . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  97
        4.10.2  Another example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  99
        4.10.3  A "realistic" example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
        4.10.4  The economist's view  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
   4.11 Infinitesimals generalizing up-second . . . . . . . . . . . . . . . 102

5  Further Research                                                         105
   5.1  Applying the theory earlier in the game . . . . . . . . . . . . . . 105
   5.2  Approximate results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
   5.3  Kos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
   5.4  Life and death  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
   5.5  The last play . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
   5.6  Extensions of current results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
   5.7  Hardness results  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

A  Rules of Go -- A Top-down Overview                                       113
   A.1  Rulesets can (rarely) yield differing results . . . . . . . . . . . 114
   A.2  Who has used these different rulesets?  . . . . . . . . . . . . . . 114
   A.3  Top-down view of rule options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
   A.4  Interpretations of territories  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
   A.5  Loopy play and hung outcomes  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
   A.6  Protocol  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
   A.7  References to official rules  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
   A.8  Overview  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
   
B  Foundations of the Rules of Go                                           127
   B.1  Abstract  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
   B.2  Ancient Go  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
        B.2.1  The capturing rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
        B.2.2  Ancient rules  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
        B.2.3  Historical note  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
        B.2.4  Greedy ancient Go  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
        B.2.5  Groups of stones and topological configurations  . . . . . . 133
        B.2.6  Decomposition of a TGAP into a sum of configurations . . . . 135
        B.2.7  Proof of completeness of the list of configurations  . . . . 136
        B.2.8  Definitions of seki and independent life . . . . . . . . . . 137
   B.3  Local versions of the ancient rules . . . . . . . . . . . . . . . . 137
        B.3.1  Philosophical revision of the ancient rules  . . . . . . . . 137
        B.3.2  American score = Chinese score . . . . . . . . . . . . . . . 138
        B.3.3  Komi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
        B.3.4  Five variations on the ancient rules . . . . . . . . . . . . 139
        B.3.5  Mathematized ancient rules . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
        B.3.6  Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
        B.3.7  One-point adjustments among C, J, and MU . . . . . . . . . . 142
        B.3.8  The mathematized half-integer komi . . . . . . . . . . . . . 145
   B.4  Modeling by mathematical rules  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
        B.4.1  Foreseeing the terminal configurations . . . . . . . . . . . 145
        B.4.2  Dead stones in ancient territory . . . . . . . . . . . . . . 146
        B.4.3  Modernized territory in living regions . . . . . . . . . . . 149
        B.4.4  Earned immortality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
        B.4.5  Ko-playing, a la Conway  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
        B.4.6  Ko playing, a la Japanese confirmation phase . . . . . . . . 150
        B.4.7  Chinese komi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
        B.4.8  Mathematical rules which approximate the Japanese ko-scoring 
               rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
        B.4.9  Encore formally defined  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
   B.5  Traditional basic shapes  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
        B.5.1  False eyes and sockets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
        B.5.2  Sequences of sockets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
        B.5.3  Defective shapes in TGAP-imposters . . . . . . . . . . . . . 154
        B.5.4  Semi-terminal ancient positions  . . . . . . . . . . . . . . 157
        B.5.5  Other terminal ancient positions . . . . . . . . . . . . . . 158
        B.5.6  Bent 4 in a corner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
        B.5.7  Positions which stress the fine print of Japanese rules  . . 163

C  Problems                                                                 169

D  Solutions to Problems                                                    179

E  Summary of Games                                                         189
   Examples of Go positions with simple values  . . . . . . . . . . . . . . 189
   Combinatorial game theory summary  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
   Summary of incentives  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
   Generalized corridor invasions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
   Summary of rooms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

F  Glossary                                                                 207

Bibliography                                                                219

Index                                                                       223